La géométrie révélée -- promenade autour des fonctions elliptiques et des surfaces de Riemann

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Notes de la vidéo : http://www.antoinebourget.org/attachments/files/videos/2022_06_04_elliptique.pdf ERRATA : - à 1:34:27 on doit lire k^2 = 1-b^2/a^2 et pas k = 1-b^2/a^2 pour être cohérent avec les notations utilisées dans la vidéo. Attention, l'autre convention existe aussi, c'est pour ça que dans le programme Mathematica j'ai utilisé k = 1-b^2/a^2 pour avoir la bonne valeur... ------------------------------------------------------------------- Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee Discord : https://discord.gg/kRwdRvH Twitter : https://twitter.com/AntoineBrgt Mon site personnel : http://www.antoinebourget.org Tipeee : https://fr.tipeee.com/scientia-egregia/ ------------------------------------------------------------------- Résumé Cette fois, nous allons prendre les chemins de traverse pour explorer l'un des sujets les plus captivants des mathématiques, mais qui se trouve enfoui et assez peu connu du grand public. Nous verrons que toute cette richesse est cachée dans la dynamique du pendule simple -- mais sans l'approximation sin(u)=u ! Cette résolution exacte ouvre la porte au monde fascinant des fonctions elliptiques, joyau du 19ème siècle, mais surtout catalyseur d'une formidable révolution. C'est en effet pour les comprendre que Euler, Gauss, Jacobi, Abel et Cauchy vont fonder l'analyse complexe, mais c'est Riemann qui comprendra vraiment la géométrie qui se cache derrière. Ce faisant, nous verrons qu'une discipline entière a été créée pour étudier ces fonctions : la géométrie algébrique ! Mais ce n'est pas tout, c'est encore ce problème qui conduira quelques années plus tard au développement de la topologie algébrique, de la théorie des formes modulaires, etc... Dans cette vidéo, nous allons parcourir ensemble (le début de) cet incroyable cheminement, dans un développement où nous verrons devant nos yeux ébahis la géométrie révélée. ------------------------------------------------------------------- Plan 00:00 Début 4:37 Introduction : longueur des courbes, fonctions périodiques 17:50 Pendule simple avec approximation 30:20 Sinus et Arcsinus revisités 42:22 Pendule simple sans approximation 50:50 Étude des solutions, sinus amplitudinus 1:01:10 Résumé sur les fonctions périodiques et périodes 1:09:20 Rectification du lemniscate 1:16:43 Périmètre de l'ellipse 1:19:00 Moyenne arithmétique-géométrique 1:36:40 La géométrie cachée du sinus 1:59:10 Définitions générales des surfaces de Riemann 2:11:10 Exemple : la sphère de Riemann 2:14:30 Exemple : la racine carrée 2:21:00 Formule de Riemann-Hurwitz 2:29:00 Interlude : Projection cartographique sur un tore 2:45:00 Retour au sinus elliptique et géométrie 2:54:40 Périodes et courbe elliptique 3:04:25 Petite chronologie et variétés abéliennes 3:16:00 Structure de groupe sur les courbes elliptiques 3:24:40 Conclusion : la trichotomie Elliptique / Trigonométrique / Rationnel ------------------------------------------------------------------- Référence : Elliptic Curves (Henry McKean & Victor Moll), CUP, 1999.